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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

EJERCICIO 1

Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones

a) f(x)=x7+7x5+4xf(x)=x^{7}+7 x^{5}+4 x
b) f(x)=2−x13f(x)=2-x^{\frac{1}{3}}
c) f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)
d) f(x)=e(x−1)2f(x)=e^{(x-1)^{2}}
e) f(x)=xexf(x)=x e^{x}
EJERCICIO 2

Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para x→+∞x \rightarrow +\infty como para x→−∞x \rightarrow -\infty) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas

a) f(x)=x2+3x+1x−1f(x)=\frac{x^{2}+3 x+1}{x-1}
b) f(x)=x2−3x+2(x−1)(x+1)f(x)=\frac{x^{2}-3 x+2}{(x-1)(x+1)}
c) f(x)=sen⁡xxf(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{x}
d) f(x)=x3−3x2+4x2f(x)=\frac{x^{3}-3 x^{2}+4}{x^{2}}
e) f(x)=x3x2−1f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}-1}
EJERCICIO 3

Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones

a) f(x)=x2e−xf(x)=x^{2} e^{-x}
b) f(x)=sen⁡xf(x)=\operatorname{sen} x en [−π,π][-\pi, \pi]
c) f(x)=xln⁡xf(x)=x \ln x
d) f(x)=1−x2x+3f(x)=\frac{1-x}{2 x+3}
e) f(x)=xx2+1f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}
f) f(x)=xx2−1f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}
g) f(x)=xln⁡2xf(x)=x \ln ^{2} x
h) f(x)=2x4−4x2f(x)=2 x^{4}-4 x^{2}
i) f(x)=e2x4−4x2f(x)=e^{2 x^{4}-4 x^{2}}
EJERCICIO 4

Determine k∈Rk \in \mathbb{R} para que la función f(x)=x+kx2+1f(x)=\frac{x+k}{x^{2}+1} alcance un extremo local en x=2x=2. ¿Es un máximo o un mínimo local?

EJERCICIO 5

Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para x→+∞x \rightarrow +\infty como para x→−∞x \rightarrow -\infty) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas

a) f(x)=x+exsen⁡xf(x)=x+e^{x} \operatorname{sen} x
b) f(x)=xe1xf(x)=x e^{\frac{1}{x}}
c) f(x)=xln⁡(e−1x)f(x)=x \ln \left(e-\frac{1}{x}\right)
d) f(x)=2x+1+x2f(x)=2 x+\sqrt{1+x^{2}}
e) f(x)=3ex5ex+1f(x)=\frac{3 e^{x}}{5 e^{x}+1}
EJERCICIO 6

Determine los intervalos de concavidad y convexidad y localice los puntos de inflexión de las siguientes funciones

a) f(x)=x4+3x3+x2−1f(x)=x^{4}+3 x^{3}+x^{2}-1
b) f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^{2}}
c) f(x)=2x2−x33f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}-x^{3}}
d) f(x)=x1+x2f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}
e) f(x)=xe−xf(x)=x e^{-x}
f) f(x)=x2ln⁡xf(x)=x^{2} \ln x
EJERCICIO 7

Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función

a) f(x)=x4−2x2f(x)=x^{4}-2 x^{2}
b) f(x)=x1+x2f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}
c) f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^{2}}
d) f(x)=x⋅e−xf(x)=x \cdot e^{-x}
e) f(x)=xln⁡(x)f(x)=x \ln(x)
f) f(x)=xln⁡2xf(x)=x \ln ^{2} x
g) f(x)=xx2−1f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}
h) f(x)=x2e−xf(x)=x^{2} e^{-x}
i) f(x)=x2+100x2−25f(x)=\frac{x^{2}+100}{x^{2}-25}
j) f(x)=x4−xf(x)=x \sqrt{4-x}
k) f(x)=x2(2−x)2f(x) = x^2 (2 - x)^2
l) f(x)=x23(1−x)f(x)=x^{\frac{2}{3}}(1-x)
m) f(x)=x5−5xf(x)=x^{5}-5 x
n) f(x)=(1+x+2x2)exf(x)=\left(1+x+2 x^{2}\right) e^{x}
o) f(x)=x−2−5ln⁡(x−2)f(x)=\sqrt{x-2}-5 \ln (x-2)
p) f(x)=x−3(x−5)23f(x)=x-3(x-5)^{\frac{2}{3}}
q) f(x)=x3(x−1)2f(x)=\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}
r) f(x)=xe1xf(x)=x e^{\frac{1}{x}}
s) f(x)={x2 si x≤1(x−2)2 si x>1f(x)= \begin{cases}x^{2} & \text { si } x \leq 1 \\ (x-2)^{2} & \text { si } x>1\end{cases}
t) f(x)={8xx−1 si x<03x−x2 si x≥0f(x)= \begin{cases}\frac{8 x}{x-1} & \text { si } x<0 \\ 3 x-x^{2} & \text { si } x \geq 0\end{cases}
EJERCICIO 8

Determine la cantidad de soluciones que tienen las siguientes ecuaciones

a) x7+3x5+2x+1=0x^{7}+3 x^{5}+2 x+1=0
b) ex=1−xe^{x}=1-x
c) x3(x−1)2=2\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}=2
EJERCICIO 9

Pruebe las siguientes desigualdades

a) sin⁡x<x\sin x<x si x>0x>0
b) ex≥1+xe^{x} \geq 1+x
c) xln⁡x≥−1x \ln x \geq-1
EJERCICIO 10

Sea f(x)=24ex3ex+1f(x)=\frac{24 e^{x}}{3 e^{x}+1}. Halle la imagen de ff.

EJERCICIO 11

Sea f(x)=x2ln⁡xf(x)=x^{2} \ln x

a) ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación f(x)=−16f(x)=-\frac{1}{6} ?
b) ¿Para qué valores de kk la ecuación f(x)=kf(x)=k tiene una sola solución?
EJERCICIO 12

Determine el mayor valor de kk para que la desigualdad x2ln⁡x≥kx^{2} \ln x \geq k sea verdadera para todo x>0x>0.

EJERCICIO 13

Pruebe que xe−8x2+1<920x e^{-8 x^{2}+1}<\frac{9}{20} si x>0x>0.

EJERCICIO 14

Determine los valores de c∈(0,+∞)c \in(0,+\infty) para los cuales la ecuación ex2x−1=ce^{\frac{x^{2}}{x-1}}=c tiene una única solución.

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